Глава IX

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ

Принятые обозначения
A — суммарная термохимическая энергия горючего.
B — обозначение энергии при неправильных предположениях.
K — обозначение энергии при правильных предположениях.
E — кинетическая энергия пустой ракеты.
c — скорость истечения газов.
m, m1 — масса ракеты.
v — скорость.
vx — идеальная скорость.
x — отношение скоростей v/c или vx/c.

Эта глава состоит из отдельных и мало связанных частей.

 

1. Импульс и работа

Применение энергетических законов в ракетной технике может привести к своеобразным неожиданностям. Нельзя сказать, чтобы в мировом пространстве не удовлетворялся закон сохранения энергии, - нет, он действует, но так как во вселенной нет абсолютного покоя, то нельзя говорить просто о движении или энергии движения. Необходимо в каждом отдельном случае указывать, по отношению к какой фиксированной точке имеет рассматриваемое тело приписываемую ему энергию движения.

О потенциальной энергии материальных систем тоже нельзя говорить безотносительно.

В мировом пространстве, безусловно, действует закон сохранения центра тяжести (естественно в пределах классической механики) безотносительно к действительному движению системы.

Закон сохранения центра тяжести может быть выведен из закона сохранения энергии.

Если система из двух масс m и dm не находится в движении, а между этими массами действует сила, которая придает массе m скорость dv и массе dm — скорость с, то работа, которая выполняется этой силой, будет

Если же эту систему m и dm рассматривать относительно системы координат, движущейся по отношению к массам m и dm прямолинейно и равномерно со скоростью v, то после действия силы масса m будет обладать скоростью v + dv, a масса dm — скоростью v + с (если рассматривать с как относительную величину и придать ей отрицательное значение). Тогда работа, выполняемая силой, составит:

или

Из законов сохранения энергии и относительности движения следует, что абсолютная величина работы, совершаемая силой, не должна зависеть от величины v. Другими словами,

A1 = A2

откуда следует

A2 - A1 = 0

и по (101) и (103) получим:

Относительно системы, обладающей скоростью v = 0, масса m получает приращение энергии ½ m(dv)². Относительно движущейся системы приращение энергии составит

Это значительно больше. Все же сумма энергии во вселенной при этом не увеличивается, так как масса dm относительно этой системы лишается работы cdm.

До сих пор, как мы видели, речь шла, по существу, о простых определениях. Совершенно иное будет, если иметь дело с телом, которое движется между различными системами. Это станет ясным из последующих рассуждений.

Пусть астероид летит вокруг Солнца на расстоянии 900 радиусов орбиты Земли. Тогда по законам астрономии его скорость составит 1 км/сек, а время кругового полета 27 000 лет. Пусть на этом астероиде находится водитель ракеты (способный жить исключительно долго), который хочет попасть на неподвижную звезду, находящуюся на расстоянии 1015 км (это примерно равно расстоянию до Регула в созвездии Льва). Пусть неподвижная звезда не имеет движения относительно Солнца и лежит в плоскости орбиты астероида, а астероид находится в точке А' (фиг. 31) между Солнцем и неподвижной звездой (A дает направление к звезде). Пусть также топливо ракеты может сообщить последней идеальную скорость 6 км/сек. Параболическая скорость относительно Солнца составляет здесь р = 1,4 км/сек. В настоящей главе будет показано, что этой величиной в расчетах можно пренебречь, как и параболической скоростью по отношению к астероиду. Возникает вопрос: каким образом обеспечить наиболее быстрое попадание ракеты на звезду?

Оптимальным будет случай, если ракета полетит через несколько сот лет от рассматриваемого момента времени со скоростью, направленной почти против скорости астероида и несколько меньшей последней. При этом ракета использует часть топлива, соответствующую разгону до 1 км/сек, и станет описывать около Солнца эллипс, который доведет ее до границы короны Солнца. В перигелии (т.е. в точке траектории, наиболее близкой к Солнцу) ракета будет иметь скорость 500 км/сек. Если на этом участке пути водитель включит двигатель, то ракета полетит по траектории D'D к неподвижной звезде с суммарной гиперболической скоростью 505 км/сек. Скорость 500 км/сек соответствует кинетической энергии, которая затрачивается для того, чтобы вернуть ракету к траектории движения астероида. Для этого, очевидно, нужна энергия ½m500². Если скорость, соответствующую избыточной энергии, обозначить через х, то

откуда х = 70,9 км/сек.

С этой скоростью наша ракета попадет на звезду через 470 000 лет, что составляет всего лишь 1/10 ÷ 1/12 времени, которое получится, если заставить ракету стартовать на звезду без приближения к Солнцу (по линии АА' или СС на фиг. 31).

Наиболее примечательно то, что кинетическая энергия ракеты при скорости х = 70,9 км/сек получается как бы больше суммарной энергии имевшегося топлива. Но это все же не совсем так. Горючее наряду со своей термохимической энергией обладало и энергией положения, так как оно было удалено от Солнца.

При движении по направлению к Солнцу эта энергия топлива превращается в кинетическую, которая затем в значительной степени уменьшается скоростью истечения продуктов сгорания. Газы, которые истекают из сопел ракеты, хотя и летят от Солнца, но не достигают траектории астероида. Эта потерянная газами энергия и передается движущейся ракете.

В случае полета ракеты с работающим двигателем мы будем иметь дело с двумя различными системами отсчета. Газы получают скорость с относительно ракеты, но сама ракета имеет некоторую скорость относительно Земли.

Часто в работах по теории ракетных полетов ошибочно считают, что если скорость истечения газов равна с м/сек, то кинетическая энергия частицы dm отброшенной массы составит

dA = 1/2 c²dm

(Это правильно относительно ракеты, но не относительно Земли.)

Благодаря вылету частицы dm скорость ракеты повышается до v + dv, и кинетическая энергия увеличивается на

dB = mvdv

Это также правильно, но только относительно Земли. Сравнивая выражения для dA и dB, получают

1/2 c²dm = mvdv

или

после интегрирования

В результате получаются огромные величины. При v = 4 с, например,

Понятно, что, получив такие результаты, эти ученые считают полет ракет в межпланетном пространстве неосуществимым.

Аналогично этому получается и другая ошибка. Пусть единица массы горючего имеет термохимическую энергию В; при сгорании массы топлива dm кинетическая энергия оставшейся массы ракеты m получит приращение не больше чем Bdm. Если принять, что

mvdv < Bdm

то мы придем к выражению

В действительности же независимо от состояния ракеты для взаимного ускорения масс m и dm, как уже было сказано выше, остаются действительными как положение о постоянстве скорости истечения, так и принцип сохранения центра тяжести. Это приводит нас к формуле (6).

В случаях, когда полеты рассматриваются с точки зрения энергетических зависимостей, необходимо всегда помнить, что горючее быстролетящей ракеты содержит не только термохимическую энергию, но и значительную кинетическую, которая расходуется при отбросе продуктов сгорания. Если, например, химическая часть энергии В, переходящей в движение газов, составляет 1/2c²dm, то горючее при истекании газов теряет не только энергию 1/2c²dm, но также и

1/2dm [v² - (v - c)²]

Понятие энергии является для наших целей слишком общим и потому ничего не говорящим. Если ракета летит в пространстве, то при расчетах мы получаем равенство из пяти различных количеств энергий. Пусть, например, энергия движения ракеты перед отбросом определенного количества газов составляет E1, энергия после отброса — Е3, химическая энергия этого количества газа — Е2, кинетическая энергия вылетающих газов относительно Земли (но не относительно ракеты) — Е4 и< тепло, которое еще содержит газ, — E5.

По закону сохранения энергии мы получаем, что

E1 + E2 = E3 + E4 + E5

Но величина каждой составляющей не может быть получена из закона сохранения энергии.

Закон сохранения энергии можно применить только в случае движения весьма малого тела в гравитационном поле весьма большой массы. При этом предполагается, что тело может свободно перемещаться под действием силы тяжести.

Пусть, например, система — ракета плюс Земля — перед стартом ракеты будет считаться неподвижной. Примем также, что масса земли М получает в момент старта ракеты благодаря толчку пороховых газов скорость V, ракета же имеет массу m и в момент старта получает скорость v. Очевидно, что

MV = mv.         (103)*

При этом кинетическая энергия земли

А = 1/2MV²,         (104)*

а кинетическая энергия ракеты

a = 1/2mv²,         (105)*

А:а = V:v = m:M.         (106)

Так как m с М, то величиной а можно фактически пренебречь по сравнению с А. Точно так же обстоит дело, если рассматривать свободное движение ракеты в поле земного тяготения. Здесь надо лишь ввести вместо тяги действие силы тяжести. При значительной массе ракеты (порядка массы Земли) этого нельзя, конечно, делать.

Закон сохранения энергии становится недостаточным также, если мы желаем рассчитать полет ракеты между двумя планетами. Между Землей и Марсом, например, ракетный корабль мог бы описать эллипс Кеплера только в том случае, если бы можно было пренебречь влиянием притяжения Земли. Однако вначале при старте ракета опережает Землю, так как она в этот момент обладает относительно Солнца большей угловой скоростью, чем Земля (фиг. 32). Однако позже ее угловая скорость становится меньше угловой скорости Земли, так что Земля еще раз проходит мимо ракеты. В результате этого образуется составляющая скорости около 300 м/сек, энергия которой обусловливается движением Земли вокруг Солнца. Этого нарушения движения вполне достаточно для того, чтобы не попасть на Марс.

Вопрос о коэффициенте полезного действия ракетного двигателя является весьма условным. При хорошей конструкции двигателей и правильном подборе топлива термохимическую энергию топлива можно использовать на 50—7О%.

Однако этого недостаточно,— важно, чтобы эта энергия использовалась ракетой. Пока ракета неподвижна, полезное использование энергии топлива равно нулю, так как вся его энергия идет на отбрасывание газов. Чем больше скорость передвижения ракеты, тем меньше скорость газов после истечения. Когда v = c, использование энергии газов происходит наилучшим образом, так как в этом случае они как бы останавливаются позади ракеты, и содержащаяся в них энергия целиком сообщается ракете. При еще большей скорости движения, превышающей скорость истечения газов, их работа, отнесенная к единице массы, увеличивается. В этом случае, однако, надо иметь в виду, что это происходит только потому, что топливу предварительно была сообщена такая высокая скорость. На это, конечно, была затрачена энергия. Мы не можем получить ее назад в полном объеме, так как истекающие газы сохраняют после выхода из сопла еще некоторую скорость, направленную в ту же сторону, что и движение ракеты; таким образом часть энергии топлива двигателя теряется в виде кинетической энергии истекающих газов. Следовательно, при больших скоростях опять получается некоторое снижение значения к. п. д.

Из термохимической энергии горючего в кинетическую энергию единицы массы превращается доля K1 = 1/2c² (K1 здесь вычисляется, конечно, по отношению к ракете). Кинетическая энергия относительно Земли, заключавшаяся в единице массы топлива до его сгорания, составляет K2 = 1/2v². Поэтому общая энергия, заключенная в единице массы топлива, относительно Земли равна:

K3 = K1 + K2 = 1/2 ( + )

При этом тепловая энергия, которая не переходит в движение, во внимание не принимается; эта часть энергии нас здесь не интересует.

Энергия, которая еще содержится в единице массы-топли ва после истечения, составляет (разумеется, без теплоты, которая уносится газами)

K4 = 1/2 (|v| - |c|)²

Поэтому в ракете используется энергия

K5 = K3 - K4 = 1/2 [ + - (|v| - |c|)²] = |v · c|

До сих пор мы рассматривали вопрос лишь об абсолютных значениях энергии; знак ее мы найдем, заметив, что увеличение энергии может иметь место лишь тогда, когда v и с направлены противоположно друг к другу, ибо, когда v и с направлены одинаково, т.е. когда истечение газов направлено вперед, то ракета испытывает торможение; при этом она теряет энергию. Мы должны, таким образом, считать

K5 = - v · c         (107)

Графическое изменение этой функции показано на фиг. 33. При постоянном с график представляет собой прямую линию; K5 становится само по себе неограниченно большим в том случае, если скорость приобретает достаточно большие значения. Пунктирная линия на фиг. 33 соответствует термохимической энергии единицы массы горючего, которая должна быть превращена в энергию движения. Из графика видно, таким образом, на сколько больше энергии может выделить 1 кг горючего при значительной скорости.

Обозначим через у ту часть суммарной кинетической и термохимической энергии горючего, которая в данный момент используется в ракете. Чтобы определить эту величину, мы должны K5 оазделить на K3. Тогда получим:

или, если положить - v/c = x

Эта зависимость показана на фиг. 34. Мы видим, таким образом, что при v = — с использование горючего относительно (но не абсолютно) наилучшее.

Но важнее решить вопрос о том, какая часть общей энергии израсходованного горючего проявляется в виде кинетической энергии конечной массы ракеты и какая часть энергии уносится истекающими газами. На этот вопрос невозможно дать определенный ответ. Рассмотрим ракету, летящую в безвоздушном пространстве, свободном от сил тяжести, и выберем координатную систему таким образом, чтобы перед пуском двигателя ракета была неподвижна относительно этой координатной системы. Если А есть общая энергия горючего, допускающая превращение в энергию движения газов (т.е. не расходуемая для нагрева газов), а Е — кинетическая энергия ракеты, соответствующая скорости v (v здесь, таким образом, представляет собой идеальную скорость), то, согласно (6)*,

Отсюда следует, что

Обозначим отношения E/A через у и - v/c через х. Тогда, рассматривая только область положительных х, из уравнения

непосредственно найдем, что с возрастанием х (если считать с постоянной, то это равносильно возрастанию v) y должно стремиться к нулю, так как знаменатель возрастает гораздо быстрее числителя. Применяя метод раскрытия неопределенностей, можно убедиться в том, что при x (или v), равном нулю, y также равен нулю.

Фиг. 35 показывает форму кривой для уравнения (109а). Максимум можно получить дифференцированием, которое дает

Для xopt числитель должен равняться нулю. Следовательно,

Отсюда можно вычислить xopt1,593. Таким образом видно, что между кинетической энергией по окончании действия тяги и энергией топлива устанавливается наиболее благоприятное соотношение при v = 1,593 · с. В этом случае m0 = 4,94m1, а расход горючего составляет m0m1 = 3,94m1. При этом из термохимической энергии топлива в кинетическую переходит следующая доля:

Ракета же в конце концов имеет энергию движения

Следовательно, E/A = 64,7%. Большего к.п.д. относительно места старта при постоянной скорости истечения ракета не может иметь даже в том случае, если бы двигатель ее имел к.п.д., равный 100%. Если считать, что кинетическая энергия истекающих газов составляет максимум 70% химической энергии топлива, то мы найдем, что в ракете при постоянной скорости истечения и при самых благоприятных предпосылках в энергию движения конечной массы может превратиться лишь, половина энергии топлива.

Отношение E/A улучшается, когда с переменно и возрастает одновременно с v; лучше всего, когда в течение длительного времени с = v, т. е. когда истекающие газы за ракетой находятся в состоянии покоя.

Тогда, естественно, вся полученная кинетическая энергия используется ракетой, и теряется лишь та часть энергии, которая идет на нагревание газов, а также та часть энергии, которая понадобилась для того, чтобы поднять горючее на высоту, на которой оно в данный момент находится. При вертикальном подъеме позади ракеты в этом благоприятном случае должен .образоваться высокий столб газов, и, конечно, на его образование затрачивается известная работа, как и на возведение всякой другой высокой колонны. Мы вскоре увидим, что эта работа сравнительно велика. Правда, условие v = c может выполняться, лишь начиная с некоторого минимального значения скорости до скорости полета, равной наибольшей возможной скорости истечения. Для указанного вида движения справедливы следующие формулы:

Таким образом в этом случае масса обратно пропорциональна скорости. Если скорость полета ракеты немного отличается от скорости истечения газов, то потеря энергии сравнительно невелика, так как она возрастает лщнь пропорционально разности квадратов. Когда, например, v = c/2, то с газами уносится лишь 1/2dm · c²/4 энергии, тогда как энергия самой ракеты возрастает на

Эта величина, таким образом, вчетверо больше кинетической энергии истекающих газов.

То обстоятельство, что работа ракеты протекает наиболее рационально при скоростях полета, близких к скорости истечения газов, способствует отчасти тому, что применение спирта в качестве горючего целесообразнее для ракет с меньшими скоростями, т. е. для полетов в нижних слоях атмосферы, а применение водорода — для ракет с более высокими скоростями. Хотя жидкий водород стбит теперь в пять раз дороже спирта, применение его в высотных ракетах все же дешевле, так как при этом имеется лучшее использование горючего. На более значительных высотах к. п. д. водородной ракеты опять ухудшается. В будущем придется заняться исследованием возможности увеличения скорости истечения продуктов сгорания при помощи электрических установок. За основу все же можно будет, вероятно, принять водородные и спиртовые ракеты, так как они могут лучше, чем другие теплосиловые двигатели, реализовать сообщаемую им термохимическую энергию до скорости 7000 м/сек.

2. Проблема синэргии

Принятые обозначения
a — опорное ускорение.
b — ускорение.
c — скорость истечения газов.
g — ускорение силы тяжести.
g0 — ускорение силы тяжести на земной поверхности.
m — масса Земли.
p — параболическая скорость.
r — расстояние от центра Земли.
r0 — радиус Земли.
t — время.
v — скорость.
vX — идеальная скорость.
A — работа, производимая ракетой.
E — энергия.
P — тяга.
α — угол между направлением полета и осью ракеты.
β — угол между горизонталью и направлением полета.
φ — угол между радиусом-вектором и избранным неподвижным направлением.


Все другие обозначения в формулах относятся только к разделам, в которых они приводятся.

Слово «син» означает по-гречески «совместный», а «эргон» — действие или работу. Таким образом слову «синэргия» можно придать значение правильной совместной работы. Это слово мы выбрали для обозначения комплекса всех тех исследований, которые относятся к вопросу о том, как при заданной скорости истечения сообщить ракете максимально большое количество кинетической энергии, а газам — возможно меньшее количество этой энергии. (Таким образом исследования самой двигательной установки и предпосылок для создания больших скоростей истечения к нашей теме не относятся.)

Если направление тяги составляет с направлением полета ракеты угол α, то составляющая силы тяги в направлении, полета будет равна

Р cos α

Как известно, лишь одна эта составляющая служит для увеличения энергии движущегося тела, тогда как другая составляющая (Р sin α) меняет лишь направление движения.

За малый промежуток времени dt ракета пройдет расстояние vdt и совершит работу, равную виртуальному приращению энергии (мы называем ее виртуальной, так как пренебрегаем сопротивлением воздуха),

dA = P cos a · vdt.         (111)

Расход массы dm, согласно (7),

Разделив dA на dm, получим соотношение между полученным приращением энергии и израсходованной массой. Это соотношение выражается так

1. Множитель с в этой формуле просто показывает, что при истечении одного и того же количества продуктов сгорания ракета приобретает тем большую энергию, чем больше скорость истечения*.

2. Наличие множителя v представляет большой интерес, так как оно показывает, что приращение энергии при прочих равных условиях тем больше, чем быстрее летит ракета. Отсюда возникает требование: следует стремиться к обеспечению возможно более высоких скоростей полета ракеты при работе двигателя.

Покажем на некоторых примерах, что это означает.

а) С точки зрения закона сохранения энергии нет никакой разницы в том, вывбдится ли данное тело из сферы притяжения Земли в течение нескольких лет или ему сообщается скорость, которая уносит его за пределы земного тяготения в течение нескольких минут. Как в том, так и в другом случае каждому килограмму массы тела необходимо сообщить 6 370 000 кем энергии. Если ракета поднимается с постоянной скоростью или небольшим ускорением и использует силу тяги лишь для того, чтобы противодействовать силе тяжести, то ракета расходует несравненно больше горючего, чем в том случае, когда ей сразу сообщается скорость, с которой она движется дальше, не расходуя больше горючего. Для того чтобы достичь той же высоты, ракета в последнем случае должна по прекращении действия тяги обладать большей скоростью, так как она находится ближе к Земле. Более высокой скоростью эта ракета, конечно, уже обладала достаточно продолжительное время в течение разгона, и за это время продукты сгорания увеличивали энергию ракеты больше, чем в случае медленного подъема.

В этом месте можно было бы, впрочем, указать еще на то, что, кроме дифференциальной формулы (112), существует еще интегральная формула, которая дает нам возможность применить закон сохранения энергии к проблеме движения ракеты. При этом речь идет об энергии, которая сообщается лишь конечной массе ракеты.

Пусть m1 масса ракеты по окончании работы двигателя и b - идеальное ускорение ракеты. Тогда из полной тяги на массу m1 приходится доля, равная m1b; остальная часть расходуется на ускорение топлива, которое впоследствии отбрасывается. В течение малого промежутка времени dt конечная масса получает прирост энергии m1vbdt, так что в конце работы двигателя ракета имеет кинетическую энергию m1∫bvdt. Отсюда видно, что мы должны знать значение b или, по меньшей мере, отношение m/m1 и фактическую тягу.

b) Далее, из требования большой скорости полета во время работы двигателя вытекает требование пологих траекторий во время разгона. Выгодность наклонных траекторий можно уяснить себе и без формулы (112), если принять во внимание, что при вертикальном подъеме сила тяжести направлена пробив ускорения ракеты, в то время как при наклонном подъеме эта сила уменьшает ускорение только на величину g sin α (см. фиг. 29). Естественно, что это условие в известном смысле противоречит требованию отвесного прохождения атмосферы, поэтому к разъяснению поднятого вопроса нам еще придется вернуться.

c) Исходя из условия полета с большой скоростью во время работы двигателя, желательно использовать вращение Земли, т.е. направить ракету по наклонной траектории к востоку. Если, например, ракета поднимается с экватора, то в результате вращения Земли она уже обладает скоростью в 460 м/сек. При прочих равных условиях ракета достигнет большей скорости, если сила тяги будет действовать в том же направлении.

d) Из условия высокой скорости во время работы двигателя следует требование, которое мы могли бы назвать «сложением толчков» (импульсов). В качестве примера укажем на описание путешествия на Марс в книге Гомана* «Достижимость небесных тел».

Межпланетный корабль поднимается утром навстречу Солнцу со скоростью, близкой к параболической, на высоту 800 000 км. Подъем этот длится около 15 дней, причем корабль практически выходит из сферы земного тяготения. Хотя Марс отстоит от Солнца дальше, чем Земля, но Гоман стоит за подъем в направлении к Солнцу, для того чтобы водитель ракеты мог видеть перед собой Землю, освещенную полным светом. Здесь мы не можем согласиться с Гоманом. По нашему мнению, по меньшей мере столь же легко и надежно опреде-лять местонахождение ракеты, если Земля будет видна в виде серпа. Вследствие прозрачности межпланетного пространства та. кие определения не могут быть невозможными, а, наоборот, при отсутствии ослепляющих лучей они должны быть еще надежнее, в особенности если ракета летит в области полной земной тени. В этом случае Земля была бы видна либо как темный диск на фоне зодиакального света, либо как диск, освещенный лунным светом, несколько более светлый, чем задний план. Местонахождение ракеты можно было бы легко определить и в том случае, если бы она находилась уже так далеко, что земная атмосфера казалась бы лишь светлой каймой. Если далее, по Гоману, ракета на высоте 800 000 км почти неподвижна относительно Земли, то относительно Солнца она обладает скоростью Земли, т.е. скоростью, равной 29,7 км/сек. Ракета, обладающая такой скоростью, может длительное время вращаться вокруг Солнца, и притом с тем же периодом и на таком же расстоянии, что и Земля. Упомянутым расстоянием 800 000 км здесь можно пренебречь. Для того же, чтобы покрыть расстояние, отделяющее Марс от Солнца, нужен новый импульс. По расчетам Гомана, этот импульс будет минимальным, если он будет сообщен в направлении движения ракеты и будет достаточно велик для того, чтобы она в результате прироста скорости стала описывать эллипс, подобно комете. Поэтому Гоман и говорит о «кометном рейсе», где перигелий соприкасается с орбитой Земли, а афелий — с орбитой Марса (см. фиг. 32). Этот импульс должен увеличить скорость на 3 км/сек. Для выполнения такого маршрута нужно, естественно, выбрать такой момент времени, когда ракета действительно может встретиться с Марсом, а не только достичь математической линии — орбиты Марса.

Кроме того, чтобы получить дополнительно скорость vX = 320 м/сек, необходимую для компенсации возмущения траектории, ракета должна израсходовать еще часть топлива. Таким образом, по Гоману, полет происходит так. Сперва дается первый импульс, сообщающий ракете скорость vX от 12 до 14 км/сек; затем через 15 суток — второй импульс, добавляющий скорость vX = 3000 м/сек, и далее на протяжении маршрута следуют еще несколько меньших по величине импульсов, сообщающих суммарную скорость vX = 320 м/сек. В общей сложности горючего должно быть достаточно для сообщения скорости vX, равной 15 320 — 17 320 м/сек.

Мы не отрицаем, что это ясное и простое изложение в сочетании с изящными и легко доступными пониманию расчетами делает работу Гомана весьма ценной (особенно для диллетантов). Опытный же водитель ракеты никогда не будет трижды подряд давать газ для сообщения сравнительно небольших скоростей. Наоборот, он постарался бы достигнуть цели путем однократного импульса, но с сообщением большой скорости.

Действительно, пусть р означает параболическую скорость ракеты на той высоте, где работа двигателя прекращается, и пусть ракета движется далее с гиперболической скоростью v1. Тогда за пределами действия поля земного тяготения ракета cохранит еще скорость

Как известно, между кинетической энергией ЕP, требующейся для преодоления поля земного, тяготения, и параболической скоростью существует соотношение

По преодолении силы земного притяжения ракета будет еще обладать кинетической энергией Е2, для которой, естественно, должно быть справедливо равенство

откуда и следует формула (ИЗ).

Выигрышная сторона такого способа полета выражается в том, что

Одновременно имеем здесь важный закон межпланетных полетов.

Значения скоростей, получающиеся в результате всех энергетических воздействий, для случая свободного движения ракеты суммируются по теореме Пифагора. Действительно, если начальная скорость ракеты v1 то ее начальная энергия

Второе энергетическое воздействие ±Е2, которое сообщило покоящемуся телу скорость v2, равно

Третье и четвертое воздействия дадут

Тогда остаточная энергия, очевидно, будет

а остаточная скорость ракеты vr, определится из соотношения

Из выражений (114) — (119) следует:

Последнее равенство справедливо лишь для энергетических воздействий, не зависящих от движения тела, на которое они влияют, например, для работы, необходимой для переноса тела из одного поля тяготения в другое, и т.д.

Аналогичным образом можно рассмотреть и скорость возмущения траектории. Если эту скорость обозначить через х, то мы направим ракету несколько иначе и выберем v так, чтобы

Конечно, это не совсем точно для х, так как мы имеем дело с задачей о трех телах, решать которую только на основании закона сохранения энергии можно лишь весьма условно. Ведь возмущение траектории ракеты зависит и от ее скорости. В действительности vt должно быть на 100 м/сек больше, чем при отсутствии возмущения, но не на 320 м/сек, как это принимает Гоман.

Выгода от «сложения толчков» будет для нас ясна, если обратить внимание на то, что

Тогда при vX = 12 км/сек это даст 12 470 м/сек, а при vX = 14 км/сек соответственно 14 470 м/сек, т.е. на 2 850 м/сек меньше, чем считает необходимым Гоман.

е) Условия а), Ь) и с) можно охарактеризовать следующим выводом: во время работы двигателя ракета должна оставаться возможно ниже*. Тогда большая часть энергии превращается в кинетическую, и ракета приобретает большую скорость.

3. В формуле (112) фигурирует еще множитель cos α. Отсюда сюда следует, что dA/dm принимает максимальное значение, когда α = 0*. Если бы ракета поднималась отвесно по отношению к центру Земли, она описала бы прямую. Когда же она движется наклонно, то ее траектория в любой рассматриваемой точке образует с горизонталью угол δ. Если к тому же импульс действует в направлении движения ракеты, то к ускорению, вызванному тягой, добавится еще слагающая ускорения силы тяжести

g cos δ

действующая перпендикулярно к направлению движения. Эта последняя и обусловливает искривление траектории.


Фиг. 36. Изменение величины опорного ускорения при возвращении ракеты с парашютом в атмосферу Земли.

По ординате отложены значения опорного ускорения, а по абсциссе — монотонная функция времени, не описанная более подробно в этой книге.

а — сплошная кривая показывает изменение опорного ускорения в случае, если ракета снабжена сильно тормозящим парашютом; пунктирная кривая показывает то же, но при очень слабо тормозящем парашюте; ход кривых в обоих случаях один и тот же, но в одном случае процесс торможения наступает позже.

б — изменение величины опорного ускорения в случае, если ракета снабжена обычным парашютом (пунктирная кривая) и парашютом с клапанами (сплошная кривая); при открытии клапанов сопротивление воздуха уменьшается на 44%; максимальное опорное ускорение равно здесь лишь 56% опорного ускорения при применении обычного парашюта.

Описываемые таким образом кривые мы назвали «ракетными линиями», потому что ракета, снабженная короткими и широкими стабилизаторами, при наклонном свободном подъеме описывает такую «ракетную линию». Семейство ракетных линий изображено на фиг. 37. При этом ускорение принято здесь за постоянную величину и несколько меньше, чем у модели Е. Мы выбрали ускорение меньшим, потому что характер кривых выявляется тогда нагляднее. Как видно из чертежа, часть кривых возвращается, пересекая снова Землю, другая же часть, наоборот, ее больше не встречает. Так как не существует никаких сил, которые отклоняли бы траекторию вправо или влево, то такие кривые всегда лежат в одной плоскости, проходящей через центр земного шара.

В безвоздушном пространстве сохранение ракетных линий затруднительно. Для обеспечения автоматического их сохранения требуется довольно сложный механизм, в противном случае становится необходимым ручное управление ракетой. Поэтому мы будем рассматривать следование по ракетной линии только лля больших ракет с экипажем.

Примем опорное ускорение за постоянное и включим его в уравнение в качестве обычного ускорения, обозначив через а. Сопротивлением воздуха мы пока пренебрежем.

Пусть
δ — угол с горизонтом;
r — расстояние от центра Земли;
φ — угол, образованный точкой взлета, центром Земли и рассматриваемой точкой;
g — ускорение силы тяжести в рассматриваемой точке;
g0 — ускорение силы тяжести на поверхности Земли;
r0 — радиус Земли.

Тогда для ускорения, направленного вверх, имеем

Для горизонтального ускорения

Вертикальная слагающая скорости v выразится через

Горизонтальная слагающая

Отсюда следует:

Мы имеем, следовательно, два дифференциальных уравнения с тремя переменными r, φ и t Интегрирование удается в виде рядов при помощи метода неопределенных коэффициентов. Функциональные зависимости между r и t, φ и t, s (длиной пройденного пути) и t, а также между v и t в общем случае трансцендентны.

Ход кривых, естественно, такой же, как и на фиг. 37. Если эти кривые отнести к прямоугольной системе координат, то они приобретают вид, показанный на фиг.38.


Фиг. 38. Расстояния ракетных линий от земной поверхности, изображенной в прямоугольных координатах.

По абсциссе отложены градусы окружности Земли, по ординате — тысячи километров от центра Земли.

3. Синэргическая траектория

Принятые обозначения
a — опорное ускорение.
b — ускорение.
f = g/a
g — ускорение силы тяжести.
gm — среднее значение g на четвертом участке пути.
h — высота ракеты над поверхностью Земли (на четвертом участке).
h' — вертикальная слагающая скорости (на четвертом участке).
p = g -z
r — расстояние от центра Земли.
s — длина траектории.
t — время.
v — скорость.
v1, v2, v3, v4 — идеальная скорость на 1-м, 2-м, 3-м и 4-м участках.
vXK — потеря скорости, обусловленная разностью между α и β.
vZ — круговая скорость.
w — горизонтальная слагающая скорости.
x — горизонтальная координата точки траектории.
x' — горизонтальная слагающая скорости.
dx'/dt — горизонтальная слагающая ускорения.
y — вертикальная координата точки траектории.
y' — вертикальная слагающая скорости.
dy'/dt — вертикальная слагающая ускорения.
z — центробежное ускорение.
A — аэродинамическая боковая сила.
Btgα0 + secα0.
α — угол наклона траектории.
β — угол наклона оси ракеты.
Δα — разность направлений, выравниваемая аэродинамическим сносом.
ε — угол между осью ракеты и направлением движения.
ε1 — начальное значение ε.
τ — длительность полета со скоростью, большей круговой.


Необходимо разобрать, как будет вести себя ракета, если сна летит горизонтально (над земной атмосферой).

Сопла должны быть, очевидно, повернуты под определенным углом ε вниз, для того чтобы вертикальная составляющая тяги противодействовала силе тяжести и обеспечивала горизонтальный характер движения.

Мы намеренно разбираем здесь только полет межпланетных ракет. Полет ракеты с регистрирующими приборами и без экипажа будет при любых обстоятельствах проходить наиболее рационально, если она взлетает вертикально с оптимальной скоростью v. Такая ракета может почти мгновенно приобрести некоторую скорость, поскольку это допускает сопротивление воздуха. Здесь не имеют смысла наклонная траектория и длительное пребывание ракеты в атмосфере. Точно так же и ракета, летящая на большое расстояние, но без экипажа, достигает максимальной скорости, находясь еще в пределах земной атмосферы, так что исследования о наивыгоднейшем угле подъема здесь также излишни. Иначе обстоит дело с межпланетной ракетой, которая при вертикальном подъеме могла бы приобрести максимальную скорость лишь на высоте 1700 — 2000 км. Выбором наклонной траектории полета можно существенно сэкономить энергию, необходимую для создания газовой колонны высотой 2000 км. Для быстрого достижения большой скорости траектория должна возможно меньше подниматься над атмосферой Земли.

При полете выше атмосферы примем α = 0 и β = ε.
Тогда

Если, например, принять а = 35 м/сек² и r = r0 + 140 км, где r0 — радиус Земли, то g = 9,5 м/сек², ε1 = 15,5 и

Следовательно, почти весь идеальный импульс идет здесь на сообщение скорости ракете. Если траектория была отклонена к востоку, то этому способствует также и вращение Земли, сообщающее в наших широтах скорость около 300 м/сек, а в тропиках — даже 460 м/сек, в то время как при вертикальном подъеме вращение Земли почти не повышает конечную скорость. Для полета в межпланетном пространстве решающей величиной является скорость относительно центра Земли, а выигрыш от импульса, возникающего в результате вращения Земли, с избытком может компенсировать потери от наклонной установки сопел вплоть до получения круговой скорости, так что для этой части пути v1 > vX.

С другой стороны, требование горизонтального старта противоречит требованию быстрого пронизывания атмосферы; кроме того, появляющаяся при этом кривизна траектории (см. ниже) вызывает потерю энергии и, наконец, параболическая скорость у поверхности Земли больше, чем на высоте. Окончательное суждение о наивыгоднейшей форме траектории подъема мы сможем высказать лишь тогда, когда будем знать, как осуществляется горизонтальный старт и как велики потери импульса при изменении направления движения из вертикального в горизонтальное.

Итак, сперва межпланетная ракета будет прямо и круто подниматься вверх. Крупные ракеты с большой нагрузкой на поперечное сечение должны подниматься более полого, чем ракеты меньших размеров. На высоте в несколько километров (для крупных ракет в 3 — 4, а для малых — 20 — 30 км) сопла будут направлены параллельно направлению движения. Тогда сила тяжести искривит траекторию книзу и, если сопла будут все время параллельны направлению движения, то в конце концов последнее станет горизонтальным. Это произойдет на высоте 120 — 140 км при скорости в 2 — 6 км/сек. Ракеты меньших размеров примут при крутом старте горизонтальное направление движения не столь быстро. Этому можно помочь, направляя ось ракеты более полого, чем наклон траектории. При помощи возникающей аэродинамической боковой силы А (фиг. 39) можно ускорить изменение направления движения на горизонтальное. (Вследствие того, что истинное направление движения в силу вращения Земли более плоско, чем кажущееся, этот наклон может быть не связан с расходом энергии. В целом же более экономичным будет такой полет ракеты, когда благодаря большим размерам ее не придется сперва круто подниматься и потом изменять свой путь при помощи аэродинамических сил.) Далее, полет будет горизонтальным до достижения круговой скорости v = gr, когда сила тяжести уравновешивается центробежной силой. Начиная с этого момента, центробежное ускорение будет превосходить центростремительное, и под действием центробежной силы межпланетная ракета станет постепенно отходить от горизонтали.

Траекторию, которую опишет ракета при таком способе подъема, назовем «синэргической». Она распадается на четыре участка: 1) прямолинейного наклонного подъема, 2) перехода наклонной траектории в горизонтальную, 3) движения по горизонтали до достижения круговой скорости и 4) движения до достижения основной скорости полета по ракетной линии.

1. Расчеты первого участка синэргической траектории проводим по формуле (98).

2. Проведение вычислений по второму участку представляет значительные трудности. Рассмотрим сперва случай, когда искривление траектории происходит лишь под действием силы тяжести; при этом вычисления значительно упрощаются. Тогда траектория будет представлять собой ракетную линию, для которой может быть применена система (127); но так как здесь речь идет о сравнительно коротком отрезке, можно не учитывать влияния выпуклости земной поверхности. Величину g следует считать постоянной, а центробежной силой вследствие малости горизонтальной составляющей скорости можно пренебречь. (Получающуюся ошибку мы позднее оценим и результаты исправим.) Этим мы весьма существенно облегчим расчеты. Введем при расчетах этого участка синэргической кривой следующие обозначения:


х — горизонтальная координата точки траектории;
y - вертикальная координата точки траектории;
t - время;
x' = dx/dt - горизонтальная слагающая скорости;
y' = dy/dt - вертикальная слагающая скорости;
α - угол наклона траектории;
dx'/dt - горизонтальная слагающая ускорения;
dy'/dt - вертикальная слагающая ускорения;

Имеем:

Поделив (135) на (136), получим:

Для отношения g/a введем новое обозначение

Далее, в силу параллельности сопла и траектории

Подстановка (139) и (138) в (137) дает:

Мы получили однородное дифференциальное уравнение относительно переменных у' и х'. Решением его будет

где постоянная интегрирования раына

Если учесть уравнения (139), то

Последнее уравнение дает связь между горизонтальной составляющей скорости и наклоном траектории. Отсюда легко найти зависимость у' или v от а.

Имеем:

Так как

и

то из (143) следует:

Полученное уравнение является квадратным относительно cos α.

Значения, когда cos α = 0, можем исключить; тогда получим:

Далее, из (143) следует:

и

Из (145) и (147) следует:

Из (136) и (146) следует:

что при учете (138) дает:

Как только полет становится горизонтальным, tg α = 0. Тогда, согласно (147),

Если подставить это равенство в (151), то получим уравнение, указывающее, на какой высоте траектория становится горизонтальной. Заменив в полученном уравнении С и х1' через х0' и α0 согласно (152) и (142), а также подставив значение x0 = v0 cosα0 и приняв для краткости tg α0 + sec α0 = В, получим:

Это уравнение показывает, какой должна быть скорость x0 при определенном угле полета α0, если на (y1y0) выше траектория должна стать горизонтальной лишь под действием силы тяжести.

Приводим таблицу значений α0 и м0 при y1y0 = 100 км и a = 35 м/сек.

α0

60°

50°

40°

30°

20°

10°

 

v0

170

300

600

1140

2340

5700

м/сек

При опорном ускорении 35 м/сек² и угле подъема α0 = 60° скорость v0 достигает значения 170 м/сек уже при y0 = 485 м высоты, так как y0 = v0/2b · sin α (величина b = а — g sinβ); при v0 = 6OO м/сек и α0 = 4О° y0 = 5,7 км. Уже отсюда видно, с каким малым наклоном должна подниматься ракета, для того чтобы получить горизонтальный участок траектории на границе атмосферы.

Величину (y1y0) мы приняли равной 100 км. В действительности нас интересует только значение y1. Соответственно этому в формуле (153) можно выразить y0 через v0, sin α и b, и тогда после некоторых преобразований получим:

По сравнению со (153) эта формула не дает ничего существенно нового. Если принять высоту атмосферы равной 120 — 140 км, то как из (153), так и из (154) следует, что этот способ подъема может применяться лишь по отношению к межпланетным ракетам, которые могут пролететь зону между 7 и 12 км высоты под углом, меньшим 35°. Ракета никогда не должна лететь со скоростью, большей оптимальной, получаемой по формуле (31); здесь эта скорость должна быть очень высокой. Это означает, что ракета должна быть очень большой и тяжелой. Численное исследование показывает, что в момент старта поперечная нагрузка mg/F должна быть больше 8 кг/см². Но в качестве горючего для очень больших ракет будет использоваться водород, а водородные ракеты имеют удельный вес лишь около 0,293. Для того чтобы получить поперечную нагрузку 8 кг/см², такая ракета должна иметь длину более 280 м. В ближайшем будущем такие машины, очевидно, не удастся построить, да и вообще спорно, могут ли они быть построены когда-либо.

В случае применения ракеты, подобной модели Е, с нагрузкой на поперечное сечение от 1 до 1,5 кг/см² следует взлететь сперва круто вверх и затем для искривления траектории вниз воспользоваться сопротивлением воздуха, как это схематично показано на фиг. 39. До высоты 14 км подъем происходит под углом 60°, затем ракета наклоняется так, чтобы угол между ее осью и горизонталью составлял 55°. В дальнейшем ось ракеты должна быть на несколько градусов ниже направления полета до тех пор, пока угол наклона траектории не уменьшится до 20°. После этого подъем будет итти по ракетной линии до достижения горизонтали, причем ракета выйдет за пределы атмосферы.

Благодаря этому наклону оси ракеты вниз (относительно скорости) возникает аэродинамическая боковая сила А. Эта сила нужна для изменения направления полета на угол Δα, который меньше разности между 20° и углом, под которым ракета летела бы после того же отрезка времени, в случае перехода с конца первого участка (где она летела под углом 60°) на ракетную линию. В то же время Δα больше разности между 60° и углом, под которым ракета должна лететь, чтобы достигнуть на ракетной линии в определенный момент времени угла 20°. В общем случае для межпланетных ракет весом от 300 до 5000 т значение Δα колеблется между 33 и 20°. Для модели Е можно принять (в радианах)

Δα = 0,524

Силу k, с которой тело с массой m при скорости v противодействует изменению направления движения, можно определить по формуле

При наклонном положении оси сопротивление воздуха возрастает на некоторую величину ΔL, которая по произведенным до настоящего времени аэродинамическим исследованиям лежит в пределах между A/10 и A/6. Этим обусловливается и снижение идеальной скорости на

Если принять A ≈ k иΔL = k/8, а через vm обозначить среднее значение между начальной и конечной скоростью на этой кривой, то из (156) и (157) следует, что

При vm = 1200 м/сек и Δα = 0,524 получим:

vXK = 79 м/сек.             (159)

Для этого участка кривой был сперва вычислен расход горючего по формуле (100) без учета vXK. При этом зависимость v и y от t была представлена графически. Интегрирование было тоже проведено графическим методом; затем была найдена идеальная скорость и добавлено vXK.

Для полета от α = 20° до горизонтального направления расход массы был определен снова по (100). При этом мы заменили v по (144) и (146) через х', t — по (150) и y — по (151). Затем все было проинтегрировано графически.

Таким образом были исследованы 12 различных случаев. При этом было найдено, что скорость vX для модели Е в конце второго участка синэргической кривой оказалась на 700 — 1100 м/сек больше v2 (а для трехступенчатых межпланетных ракет на 300 — 400 м/сек). Величина первого и второго участков кривой играет в этих расчетах малую роль; то же самое относится и к фактической конечной скорости (2 — 4 км/сек). Равным образом оказалось, что результат зависит от величины опорного ускорения меньше, чем мы ожидали. Вероятно, дело в том, что при большом опорном ускорении подъем должен быть вначале круче и что при последующем искривлении траектории возникают потери*.

3. На третьем участке синэргической кривой расстояние от центра Земли не меняется. В формулах пользуемся теми же обозначениями, что и в предыдущих формулах (128) — (134), и начинаем рассуждения с формулы (128).

Находим:

Далее, аналогично (132),

Из (160) и (161), исключая dv и интегрируя по t и р, получаем:

Так как полет происходит в безвоздушном пространстве и а постоянно,

К сожалению, это выражение не интегрируется в элементарных функциях, но его можно решить приближенно или графически (при разложении в степенной ряд удобно ввести новый аргумент ξ = g — p).

Мы нашли, что в зависимости от опорного ускорения и начальной скорости v2 идеальная скорость на третьем участке синэргической кривой на 80—140 м/сек больше действительной. Если конечную скорость обозначить через v3,

4. Четвертый участок синэргической кривой также представляет собой ракетную линию. Как мы вскоре убедимся, она лишь немногим отличается от дуги окружности. Обозначим через h высоту ракеты над поверхностью Земли, через h' = dh/dt — вертикальную составляющую ее скорости, через w — ее горизонтальную скорость и, наконец, примем

Где gM — среднее значение ускорения силы тяжести. Обозначим далее через vZ круговую скорость, b — горизонтальное ускорение, τ — время, прошедшее с момента достижения круговой скорости.

Величину b можно приближенно считать постоянной. Тогда

Далее,

Из (164) — (166) получаем:

но

и dt = тогда

Но отдельные участки dh не все взаимно параллельны, даже если косинус угла, образуемого ими, всегда близок к единице. Тогда

Обозначив через h3 высоту, на которой достигнута круговая скорость, получим:

Если в первом приближении примем b = 35 м/сек², т.е. равной а, и будем интегрировать до значения параболической скорости, то получим:

Если взять b немногим меньше, например, b = 34 м/сек², то

При b = 39 м/сек² получаем для максимальной разности высот лишь 9,5 км.

В результате такого подъема конечная скорость уменьшается на 12,6 м/сек (подъем на 14,4 км), или соответственно — на 9,3 м/сек (подъем на 9,5 км) по сравнению с тем, когда ракета совершает полет горизонтально. Однако это уменьшение скорости само по себе не связано с потерей энергии. При увеличении высоты на 14,4 км параболическая скорость также уменьшается на 12,6 м/сек. Все же, согласно (112), в результате уменьшения скорости потеря энергии происходит, и под конец она равна около 0,001 dA/dm. В целом, однако, она оказывается еще значительно меньшей, так что потеря скорости между круговой и параболической скоростями едва достигает 1 м/сек.

При путешествиях на планеты конечные скорости могут (хотя и не должны — см. гл. XVIII) равняться 15 — 17 км/сек. В таком случае этой потерей скорости пренебрегать уже нельзя. Однако требование, чтобы двигатель работал на большой скорости полета, можно выполнить следующим искусственным приемом.

Когда ракета разовьет скорость около 10 км/сек, двигатель следует остановить. После этого ракета будет описывать вытянутый эллипс, перигей которого находится недалеко от той точки, где была достигнута круговая скорость. Когда при своем возвращении ракета будет находиться примерно в 1000 км от перигея, двигатель надо включить вторично.

Тогда максимальный импульс придется как раз в наибольшей близости к Земле. Графическим путем мы нашли, что потеря скорости между круговым и конечным значениями ее пр» опорном ускорении 35 м/сек² меньше 8 м/сек, а такой величиной можно пренебречь.

Остается еще исследовать, вправе ли мы полагать, что вовремя полета до достижения параболической скорости горизонтальное ускорение постоянно и равно по величине а. Согласно (167), при b = 35 м/сек² и τ = 95 сек. получаем:

h1' = 446 м/сек

Если обозначить угол наклона траектории через α, а его конечное значение — через α1, то, очевидно,

α << α1

a > b = a - g sin αa - g sin α1

Но

что при h1' = 450 м/сек дает

a > b > a · 0,990

Следовательно, мы можем считать а действительно постоянным.

Теперь мы в состоянии ответить на вопрос о наивыгоднейшей форме траектории подъема межпланетных ракет. На первом и втором участках синэргической кривой потери скорости составляют в целом 700 — 1100 м/сек, на третьем — 80 — 140 м/сек, а всего на трех участках 780 — 1240 м/сек. Так как в большинстве рейсов траектория может быть наклонена к востоку, то получается увеличение скорости на 250 — 460 м/сек и следовательно vX должно быть на 320 — 1000 м/сек больше конечной скорости*. Эта скорость при одной и той же цели путешествия, несомненно, больше в той точке, которая ближе к Земле, чем в более удаленной точке. Например, параболическая скорость на высоте 138 км равна 11 140 м/сек, на высоте 1400 км она составляет 10 010 м/сек, а на высоте 1850 км — только 9800 м/сек.

Полет по синэргической кривой дает значительную экономию горючего. Чтобы достигнуть параболической скорости по синэргической кривой, межпланетная ракета должна приобрести идеальную скорость 11 500 — 12 040 м/сек. Для того же, чтобы достичь этой скорости при вертикальном подъеме и опорном ускорении 40 м/сек², требуется, согласно (70) и (80), идеальная скорость 12 700 м/сек, а при опорном ускорении 35 м/сек² — даже 13 500 м/сек. Следовательно, при подъеме по синэргической кривой экономится горючее, способное увеличить скорость vX на 960 — 2020 м/сек. При гиперболических скоростях экономия горючего еще выше.

Преимущество полета по синэргической кривой заключается еще и в том, что в этом случае нам удастся значительно снизить опорное ускорение, особенно в отдельных местах, например, вблизи области круговой скорости и на втором участке пути. В то же время при отвесном подъеме каждая секунда, удлиняющая время подъема, несет с собой потерю скорости порядка 3 — 8 м/сек.

Необходимо еще указать, что при эллиптических скоростях - ближайшая к Земле точка эллипса траектории (перигей) примыкает к атмосфере. Тогда в апогее (наиболее удаленной точке) достаточно незначительного включения двигателя, чтобы перенести перигей в атмосферу настолько, насколько это необходимо для посадки (ср. гл. XI). В случае вертикального подъема, наоборот, надо достигнуть значительно больших разностей скоростей, что одинаково невыгодно как с точки зрения безопасности, так и расхода горючего. Кроме того, если в апогее (при полете по кривой синэргии) ракете будет сообщен ускоряющий импульс, то она сможет приобрести круговую скорость при минимальном расходе горючего (что важно для осуществления посадки на вращающиеся вокруг Земли станции). Из всего этого следует также, что если доставлять горючее по синэргической кривой на одну из вращающихся вокруг Земли станций в направлении, совпадающем с направлением вращения станции, то это не вызовет уменьшения скорости.

В качестве следующего преимущества синэргической кривой необходимо указать на возможность направления ракеты на траекторию, по которой она может произвольно долго кружиться вокруг Земли, оставаясь в межпланетном пространстве. При крутом же подъеме ракета либо скоро упадет назад, либо должна улететь достаточно далеко, либо, наконец, для изменения направления полета в апогее должна будет включить двигатель и произвести значительный расход топлива. Кроме того, как мы увидим в гл. XI, при любом крутом подъеме все равно придется в апогее включать двигатель, для того чтобы избежать слишком большого опорного ускорения при посадке.

При осуществлении путеше-cтвий на небесные тела большое значение будет иметь еще и то, что при полете по кривой синэнергии место старта может лежать и в умеренном поясе, в то время как при отвесном подъеме старт должен происходить в тропиках. Если при достижении круговой скорости двигатель выключается, то ракета движется вокруг Земли без дальнейшего расхода горючего по большой окружности, соприкасающейся с географическим кругом широты в месте подъема. Плоскость этой окружности пересекает плоскость эклиптики в двух точках. Следовательно, для каждой точки умеоенного пояса наступает дважды в течение суток момент, когда находящееся вблизи эклиптики созвездие оказывается лежащим в плоскости этой большой окружности. Если произвести старт в такой момент и затем двигаться по большой окружности со скоростью v = 7890 м/сек до тех пор, пока центр Земли не окажется приблизительно между ракетой и целью, и если здесь сообщить ракете еще остаточный импульс, то она попадет именно на нужное небесное тело.

Результаты сравнений, проведенных между отвесным подъемом и подъемом по синэргической кривой, сохраняют свою силу, правда, не в такой большой степени, и для наклонных подъемов. Последние тем рациональнее, чем больше траектории приближаются к синэргической кривой, представляющей идеальный случай.

На фиг. 40 показаны две кривые. По оси абсцисс отложены скорости при прекращении работы двигателя. Ординаты пунктирной кривой выражают значения отношений масс m0/m1, необходимые для того, чтобы модель Е по прекращении сгорания приобрела требуемую скорость. Ординаты сплошной кривой соответствуют выраженным в земных радиусах и отсчитанным от центра Земли высотам, до которых может долететь ракета с данной скоростью. На фигуре видно, что последние приращения скорости — самые выгодные. Если, например, к скорости 500 м/сек добавить еще 200 м/сек, то достигнутая высота возрастет с 12,8 до 25,6 км, т.е. удвоится. Если же добиться возрастания скорости с 11 до 11,2 км/сек, то достигнутая высота обратится из конечной величины в бесконечную. Быстрый рост пунктирной кривой при сравнительно высоких скоростях показывает, что здесь прирост скорости влечет за собою резкое увеличение расхода горючего, так что труднее всего добиться прироста скорости при больших ее значениях.

Конечно, в действительности нельзя вычислить точные значения отношений масс или конечной скорости. Скорость истечения газов в точности неизвестна нам, и значение ее колеблется в пределах 10%. Поэтому при одном и том же значении отношения масс уже возникают разности импульсов, которые по величине больше, чем вычисленная в книге разность импульсов при отвесном подъеме и подъеме по синэргической кривой.

Однако разработка точной теории все же имеет высокую ценность. Сравнивая отдельные способы подъема, можно, отвлекаясь от «внутренней балистики ракеты», т.е. от скорости истечения газов и работы двигателя, отдать себе отчет в том, какая траектория является наилучшей.

Далее...

Номера формул (103) - (105) в оригинале повторяются дважды. Прим. ред.
Следует иметь в виду, что здесь автор считает V и С величинами разных знаков. Прим. ред.
Здесь идет речь об абсолютном приращении энергии ракеты, а не об использовании энергии, заключенной в топливе.
Как известно, энергия массы горючего dm, превращающаяся в кинетическую энергию,

и отсюда, а также на основании (112), находим
.
Мы вынуждены подвергнуть здесь критике положения Романа. Во избежание недоразумений необходимо прежде всего указать на то, что мы рассматриваем его книгу, как ценнейший вклад в ракетную технику и космонавтику.
Слово «ниже» следует понимать здесь не в обычном смысле; Оберт хочет сказать этим, что ракета должна быть возможно ближе к крупным небесным массам. - Прим. ред.
На этом основании в ракетах с несколькими соплами желательно избегать расположения их под углом друг к другу.
    Нам возражают, что межпланетной ракете лучше всего подниматься по чисто ракетной линии, так как при этом cos α долгое время равен единице, тогда как в случае подъема по синэргической кривой сопло должно образовать некоторый угол с направлением движения.
    В этом вопросе легко разобраться, если вспомнить синэргическую формулу (112). Степень использования горючего зависит не только от величины cos α, но и от v. Величина же v растет быстрее, если подъем ракеты будет более пологим, особенно вначале. Основывается это утверждение на том, что при малых значениях а косинус лишь немногим отличается от единицы, в то время как замедление силой тяжести при заданной величине опорного ускорения уменьшается пропорционально синусу угла подъема (т.е. значительно быстрее).
    На этом участке пути наиболее идеальная линия подъема будет иметь некоторое отклонение от горизонтали. Графическим путем нами было установлено, что максимальная разность высот оказывается равной 8 км, а увеличение скорости 1,2 м/сек. Таким образом отклонение это оказалось столь малым, что мы приняли данный отрезок пути за горизонталь для того, чтобы упростить расчетную часть задачи.
    Исследовавший этот вопрос Ноордунг пришел к результату, который примерно на 800 м/сек больше полученного здесь. Вероятно, это получилось из-за того, что он не учитывал возможности искревления траектории благодаря сопротивлению воздуха. Ноордунг, как это следует из его работ, предполагал, что сперва ракета поднимается вертикально, а затем на соответствуюзей высоте в атмосфере получает новый импульс, перпендикулярный по направлению к первому.