Приложение


К. П. Станюкович
Некоторые соотношения механики
фотонных ракет

§ 1. Поскольку скорость движения фотонных ракет может быть близкой к скорости света, то закономерности их движения должны описываться соотношениями специальной теории относительности.

В специальной теории относительности постулируется, что физические законы одинаковы во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно относительно друг друга (инерциальные системы), и что скорость света всегда имеет одно и то же значение в любой инерциальной системе отсчета.

Важнейшим следствием теории относительности является связь между массой и энергией. Масса имеет энергетическое выражение, а энергия имеет массовый эквивалент. Законы сохранения массы и энергии в теории относительности заменяются одним законом сохранения массы-энергии.

В обычной классической механике в том случае, когда одна система отсчета движется прямолинейно и равномерно относительно другой со скоростью v вдоль оси х, имеют место такие простые преобразования:

x = x' + vt';     t = t' (y = y',     z = z'),(1)
где х' , у', z' и t' — координаты и время в системе отсчета К', которая движется относительно неподвижного наблюдателя (система отсчета К) со скоростью v; х, у, z и t — координаты и время в системе отсчета К. Если скорость какого-либо тела в системе К' есть u, то в системе К скорость
u = u'+v. (2)

Время и ускорения одинаковы в обеих системах отсчета. Земля при своем движении вокруг Солнца имеет скорость 30 км/сек, что составляет 1/10 000 скорости света. Измеряя и скорость света, идущего от звезды, находящейся впереди по направлению движения Земли, когда скорость Земли складывается со скоростью света, и скорость света от противоположно находящейся звезды, когда скорость Земли вычитается из скорости света, наблюдатели должны были бы получить разницу этих скоростей в 60 км/сек (заметим, что точность измерения скорости света значительно выше и разницу в 60 км/сек можно легко обнаружить). Однако оказалось, что, где бы ни находились звезды, скорость света всегда одинакова. Эйнштейн предположил, что законы сложения скорости обычной классической механики, а, следовательно, и основные законы классической механики неприменимы к таким столь высоким скоростям, как скорость света.

Лоренц впервые, а затем более просто и убедительно Эйнштейн вывели новые соотношения механики, заменяющие прежние.

Постулируя постоянство скорости света во всех инерциальных системах, можно полагать, что величина, называемая интервалом ds, также одинакова во всех инерциальных системах отсчета. В системе отсчета К имеем:

s2 = с2 (t2t1)2 — [(х2х1)2 + (у2y1)2 + (z2z1)2].(3)
Здесь t1, x1, у1 z1 — время и координаты точки, из которой отправляется сигнал, распространяющийся со скоростью света с (первое событие); t2, x2, y2, z2 — время и координаты точки, куда приходит сигнал (второе событие). В другой системе отсчета К' имеем:
s'2 = c2(t'2t'1)2 — [(х'2х'1)2 + (у'2y'1)2 + (z'2z'1)2]. (4)

Координаты и времена с индексами (1) и (2) обозначают первое и второе события в системе К'.

Интервал между двумя событиями в обеих системах отсчета одинаков. Доказательство этого положения весьма несложно. Если в одной системе s' = 0, то и в другой системе отсчета s' = 0.

В случае бесконечно близких событий

ds2 = c2dt2 — (dx2 + dy2 + dz2)
ds'2 = c2dt'2 — (dx'2 + dy'2 + dz'2).
Очевидно, что величины ds и ds' одного порядка малости, поэтому
ds = ads'.
Производя обратное преобразование от системы К' к системе К, найдем, что
ds' = ads = a2ds',
откуда а2 = 1 ; а = + 1, поскольку частным случаем последнего соотношения служит тождество
ds' = ads = ads'
(если К и К' совпадают), то а= +1. Таким образом, действительно ds = ds' и s = s'.

Мы получили важный результат. Поскольку во всех инерциальных системах отсчета интервал одинаков, то он является инвариантом по отношению к преобразованиям от одной системы отсчета к другой. Эта независимость является следствием постоянства скорости света. Подчеркнем, что интервал определяется четырьмя компонентами, т. е. он определен в четырехмерном квазиэвклидовом мнимом пространстве (пространство Минковского). Можно утверждать, что вообще любой четырехмерный скаляр, определенный в четырехмерном пространстве, будет также постоянен в любой инерциальной системе отсчета, т. е. будет являться инвариантом.

Пусть система отсчета К' опять движется вдоль оси х со скоростью v. Далее, пусть при t1 = t'1 =0 начала координат обеих систем совпадают (х1 = х'1 =0), тогда в любой момент времени при х' = 0 х = vt. Поскольку при этом у = у'; z = z', то из равенства интервалов имеем:

с2 (t2 — t1)2 — (x2 — x1)2 = с2 (t'2 — t1)2 — (x'2 — x'1)2.(5)
Введем вспомогательную временную координату τ =ict; тогда последнее выражение примет вид:
2 — τ1)2 + (x2 — x1)2 = с2 τ'2 — τ1)2 — (x'2 + x'1)2.(6)
Координаты х : у : z определяют положение движущейся в эвклидовом пространстве материальной точки (тела) в любой заданный момент времени, причем этот момент времени нужно дополнительно указывать. Координаты х : у : z : τ определяют положение движущейся точки и момент времени в пространстве Минковского.

Как мы показали выше и по аналогии с обычной аналитической геометрией для эвклидова пространства можно утверждать, что интервал остается инвариантным (неизменным) при повороте осей х : τ на угол θ; тогда связь между х' : τ ' и х : τ имеет вид:

x = x' cos θ — τ' sin θ,
τ = x' sin θ + τ' cos θ.(7)
При х' = 0
(8)
где — скорость движения системы К' относительно системы К.

Из уравнения (8) имеем:

после чего выражения (7) можно написать в виде:
(9)
Подставляя τ = ict, получим:
(10)
Соотношения (9) или (10) называются преобразованиями Лоренца.

При этом оказывается, что время в разных системах отсчета протекает по-разному, время не абсолютно, как думали раньше, а относительно и, в частности, зависит от скорости движения системы отсчета, в которой оно измеряется.

Деля почленно первое соотношение (10) на второе, найдем, что

(11)
где u и u' — скорости движения какого-либо тела в системах К и К''.

Если величина скорости v≪c, то соотношения Лоренца и закон сложения скоростей переходят в классические соотношения, которые называются преобразованиями Галилея.

Легко убедиться в том, что сумма двух скоростей, меньших или равных скорости света, согласно приведенной формуле сложения скоростей, есть скорость, не большая, чем скорость света.

В частности, эта формула показывает, что если u' = с, то и u = с, какова бы ни была скорость v. Таким образом, этот закон сложения скоростей, естественно, удовлетворяет постулату о постоянстве скорости света в любой инерциальной системе отсчета. Скорость света является максимально возможной скоростью в пространстве.

Из преобразований Лоренца можно получить ряд интересных следствий. Мы рассмотрим только два из них.

Допустим, что мы движемся с началом координат системы отсчета К', т. е. движемся относительно системы отсчета К (относительно Земли) со скоростью v. Мы измеряем время t' по нашим часам, в это время на Земле (в системе отсчета К) тоже измеряют время t; связь между обоими временами, поскольку х' = 0, будет иметь вид:

(12)
или для бесконечно малых промежутков времени
(13)
Мы обнаружим, что по нашим часам прошло меньше времени, чем по земным (парадокс времени).

Далее. Мы измеряем длину какого-либо стержня, который расположен по оси х и покоится в системе К. В нашей собственной системе отсчета координаты концов стержня х'2 и х'1. Очевидно, что

Длина стержня в собственной системе отсчета l'= х'2х'1, в земной системе отсчета длина стержня l= х2х1. Таким образом,
(14)

Мы видим, что длина стержня как бы сокращается. Если мы пролетаем вдоль стержня со скоростью v, или, что то же, если этот стержень движется относительно нас с той же скоростью, то этот стержень кажется сжатым в отношении

Рассматривая движение ракеты, можно сказать, что система К связана с «неподвижной» Землей, а система К' с движущейся ракетой. В этой системе отсчета скорость ракеты равна нулю. Эту систему отсчета мы и называем собственной системой отсчета.

Скорость ракеты v, скорость какого-либо тела относительно ракеты u', относительно Земли скорость этого же тела u.

Напишем снова выражение для элементарного интервала:

где dl2dx2 + dy2 + dz2 — элемент длины.

Поскольку , где u — полная скорость движения какого-либо тела в системе К (движение тела происходит по произвольному направлению, вдоль которого и направлена ось х), имеем:

(15)

Вычислим теперь ускорение g. Ускорение во всех инерциальных системах одинаково лишь при u→0:

(16)

Рассмотрим важную задачу. Пусть в собственной системе отсчета К' дано ускорение, причем движение будем считать прямолинейным. Требуется найти движение относительно системы отсчета К.
Тогда

(17)
Поскольку
и поскольку в собственной системе отсчета u' = 0 (но du'≠0), т. е. v = u, то:
(18)

Интегрируя это выражение, найдем, что

(19)
Отсюда
(20)
Далее, поскольку и , то пройденный путь
(21)
Если в собственной системе отсчета g = g0 = const (ускорение постоянно), то
(22)
Поскольку
(23)
то время в собственной системе отсчета К' (время, протекающее в ракете) связано с временем в системе отсчета К (время, протекающее на Земле) при постоянном ускорении ракеты соотношением:
(24)
При t→∞
(25)
т. е. время t' идет значительно медленнее, чем t.

Перейдем к изучению элементов динамики в специальной теории относительности.

§ 2. В релятивистской механике законы сохранения массы и энергии заменяются одним законом сохранения энергии. При различных ядерных (и других) процессах масса тела может изменяться, но полная энергия всегда остается постоянной.

Связь между массой (т) и энергией (Е) дается простым соотношением:

Е = mс2.
Ниже мы выведем это соотношение.

Поскольку положение любой точки в пространстве Минковского определяют вектором, имеющим четыре компоненты: х', у, Z', t, и компоненты этого вектора подчиняются при переходе от одной инерциальной системы к другой преобразованиям Лоренца, то таким же преобразованиям подчиняются и компоненты любого вектора.

Поскольку в пространстве Минковского можно ввести некоторый вектор импульса энергии, три компоненты которого определяют обычные пространственные компоненты импульса, а четвертая определяет энергию, то при переходе от системы отсчета К' к системе отсчета К будут преобразовываться как импульс, так и энергия.

Рассмотрим движение тела, скорость которого в системе К в данный момент времени есть u. В собственной системе отсчета К', которая в данный момент времени имеет скорость относительно К, v = u, u' = 0 (движение вдоль оси х). Компоненты импульса в системе К' I'x = 0, I'y = 0, I'z = 0. Введем формально четвертую компоненту импульса I'τ. Для этой цели вспомним, что в классической механике в системе К

Ix = mux, Iy = muy, Iz = muz,(1)
где
Введем
(2)
тогда
Iτ = muτ =imc.(3)
Очевидно, что в системе К' в релятивистском случае I'τ = im'c, где m' — масса тела, отнесенная к этой системе. Нет оснований утверждать, что в разных системах отсчета масса тела имеет одно и то же значение. Напротив, есть основание полагать обратное, в чем мы сейчас убедимся.

Введем скалярную величину I02=Ix2+Iy2+Iz2+Iτ2. Очевидно, эта величина одинакова в разных системах отсчета (т. е. она инвариантна относительно преобразований Лоренца).

В системе К'

I'02 = I'τ2 = -m'2c2.(4)
В системе К
(5)
Отсюда
или
(6)
Это соотношение показывает, что инертная масса тела в разных системах отсчета различна, как мы и предполагали выше.

Умножим обе части соотношения (6) на с2 и обозначим 2 = Е, m'с2 = Е'. Тогда получим:

(7)
Поскольку при разложении в ряд величины
получим, что
то
При т. е. при переходе к классическому случаю, имеем:
(8)
Первый член m'с2 = Е' не зависит от скорости. Второй член определяет кинетическую энергию тела. В классической механике энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (мы, собственно, всегда измеряем разность энергий), в релятивистском случае мы получили возможность определить эту произвольную постоянную
Е' = m'с2.(9)
Эта постоянная характеризует энергию покоя тела массы т точно так же, как
(10)
характеризует полную энергию движущегося тела.

С увеличением скорости растет масса тела и, следовательно, его энергия. Соотношение (7) и выражает закон сохранения энергии. При любых процессах энергия любой замкнутой системы остается постоянной, хотя ее масса покоя может меняться. Например, если покоящееся тело массы М самопроизвольно распадается на два тела с массами М1, М2, разлетающихся со скоростями u1, u2, то будет иметь место соотношение:

при этом М1+М2

Заметим, что разность ДЛ/ = А/ — (М1-}-М^) называется дефектом массы.

Из соотношения (7) следует, что движение со скоростью света возможно лишь, если масса покоя m' = 0, поскольку энергия должна быть конечна. «Частицы» света — фотоны, скорость которых равна скорости света, имеют, следовательно, массу покоя, равную нулю. Из соотношения (7) также следует, что скорость света является предельно возможной скоростью движения (при u>с масса частиц становится мнимой).

Соотношения (1) — (3) являются справедливыми и в системе отсчета K, в релятивистском случае, если их написать в виде:

(11)
Пусть теперь в системе К' тело движется со скоростью u'≠0, компоненты которой ', ', uz'. Тогда в этой системе
(12)
Найдем компоненты импульса в системе К (скорость системы К' относительно К есть v]. Для этой цели воспользуемся преобразованием Лоренца (9, § 1), формально заменяя:
x'→I'x; y'→I'y; z'→I'z; τ'→I'τ(t'→m')
x→Ix; y→Iy; z→Iz; τ→Iτ(t→m)
При этом будем иметь
(13)
откуда следует
(14)
или
Величина Ix2+ Iy2+ Iz2 = I2определяет полный импульс тела; величина
характеризует его энергию. Поскольку Ix2+ Iy2+ Iz2+ Iτ2 = m'2c2, то имеет место соотношение, связывающее импульс и энергию:
(15)
откуда
(16)
Поскольку имеет соотношение
(17)
то, исключая из выражения (15) и (17) массу покоя , придем к выражению
(18)
Если масса покоя тела равна нулю, то u = с, и из уравнения (18) имеем, что
(19)
Это соотношение связывает энергию и импульс света или любого электромагнитного излучения.

В системе отсчета К', где данное тело покоится, сила определяется, как в обычной классической механике.

(20)
(стрелка означает векторную величину).
В системе отсчета К имеем:
(21)
Если скорость меняется только по направлению так, что u = const, то
(22)
Если скорость меняется только по величине, то
(23)

§ 3. Выведем теперь основные уравнения движения релятивистской ракеты.

Закон ее движения определяется следующим образом. Пусть в собственной системе отсчета К' за единицу времени через сопло ракеты выбрасывается со скоростью — а масса (где m' масса покоя).
Тогда

dI'=-adm'; dE'=2dm'.(1)
В системе отсчета, связанной с Землей (система K), имеем:
Или
(2)
где и — скорость движения ракеты в данный момент времени. Поскольку
(3)
(где m' — текущая масса ракеты), то, сравнивая оба выражения, найдем, что
(4)
Мы пришли к обобщению формулы Циолковского. При — имеем обыкновенную формулу Циолковского:
adm' = m'du.(4a)

Интегрируя выражение (4) при условии, что t = 0; u = 0; m' = m'0(m'0 — начальная масса), придем к формуле:

(5)
(Из соотношения (5) легко можно увидеть, что скорость света есть предельно возможная скорость. Эту скорость приобретает последняя «частица» ракеты с массой покоя, равной нулю). При а = с соотношение (5) для фотонной ракеты будет иметь вид:
(6)
Интегрирование выражения (4а) дает, как известно,
(5a)
Разлагая (5) и (5а) в ряд, найдем, что при малых и первые члены разложения совпадают.

Из соотношения (5) следует, что только при ас (при значениях а, близких к с) получаются разумные отношения при ас эти отношения получаются исключительно маленькими; так, например, при а = 15 тыс. км/сек (скорость истечения из сопла мощной атомной ракеты) для достижения скорости u = (1 — 0,1)c = 0,9 с получаем, что

т. е. надо «сжечь» 10 000 млрд. частей массы, чтобы одна часть получила указанную скорость, что практически совершенно невозможно осуществить.

При а = с в данном случае , что вполне реально. Соотношение для dE не представляет для нас интереса, оно вспомогательное.

Поскольку при различных ядерных реакциях часть энергии переходит в электромагнитное излучение, а часть содержится в различных образующихся и разлетающихся частицах, то соотношение (5) нужно несколько уточнить (даже при аннигиляции не вся энергия переходит в энергию электромагнитного излучения).

Пусть

(7)
где
(8)
— часть массы, разлетающейся в виде частиц;

— часть массы, переходящей в энергию электромагнитного излучения.

Поскольку

dE'1+dE'2=dE'=dm'·c2.(9)
то
далее
(10)
Сравнивая выражения (3) и (10), можем написать:
(11)
где
(12)
При этом выражение (5) принимает вид:
(13)
При
При
В случае аннигиляции отличие а* от с очень мало, т. е. , где Δ≪1, при этом
(14)
(В дальнейшем под величиной а будем подразумевать а*). Пусть , где f(t) есть некоторая функция времени. Тогда
(15)
где
и выражение (5) примет вид:
(16)
Это соотношение связывает скорость с земным временем.
Отсюда
(17)
Интегрируя это выражение, найдем связь между проходимым расстоянием х и земным временем t.

Зная связь собственного времени (t') с земным (t) в общем случае из выражения (13, § 1), найдем связь между u и t' и х и t'.

В частном случае равноускоренного движения имеем:

Отсюда
(18)
и
(19)
Отсюда
(20)
При t→∞
(21)

После прекращения выброса энергии через сопло в случае инерциального движения, поскольку

(22)
можно, исключив с помощью выражения (5) из формулы (22) , также связать количество затраченной массы с дальнейшим ходом течения времени, где t0 и t0' — время прекращения выброса через сопло, протекающее на Земле и в ракете.

Имеем

(23)
При a = c
(24)

В случае непрямолинейных траекторий также можно без большого труда получить необходимые соотношения, использовав для этой цели общие соотношения между импульсом и силой. (В случае скоростей, весьма близких к скорости света, необходимо использование общей теории относительности, что однако пока не представляется необходимым).

§ 4. Вычислим, правда очень приблизительно, величину возможной плотности и скорости подачи вещества и антивещества в область аннигиляции в зависимости от расстояния, с которого происходит подача. При аннигиляции возникнет сильное излучение, давление которого будет стремиться удалить частицы вещества и антивещества от места их встречи.

Принципиально возможна подача как твердых частиц обоих веществ, так и подача их в виде газов. Однако более вероятен и целесообразен второй случай, когда антивещество, находясь в плазменном состоянии, может храниться окруженное магнитным полем без соприкосновения со стенками «хранилища».

Рассмотрим сначала именно этот случай. Как известно, для излучения абсолютно черного тела давление радиации (практически любых длин волн) определяется соотношением:

(1)
где σ — постоянная Стефана-Больцмана, равная 5,67·10-5 г/сек3 ·град4 = 2,52·10-15 г/смсек2 ·град4.

Таким образом,

р = 2,52·10-15T4 дин/см2(2)

Градиент давления, оказываемого радиацией на газообразную среду, учитывая ее реальные свойства вследствие поглощения радиации, равен

(3)
где ρ — плотность газа;

— интегральное среднее значение так называемого коэффициента поглощения излучения (kν — коэффициент поглощения при заданной частоте излучения ν).

Для сильно поглощающих сред kν имеет большое значение, для почти прозрачных сред kν мало, kν зависит от температуры и скорости среды (и обычно дается таблично). F — полный поток энергии. Fν — поток энергии излучения в интервале частот (ν, ν + dν ). k имеет размерность , где l — элемент длины.

Поскольку уравнение движения каждой частицы газа можно написать в виде

(4)
то, поскольку
(5)
где σ — плотность энергии излучения (энергия в 1 см3), окончательно уравнение, связывающее скорость подачи обоих веществ и их плотность, примет вид:
(6)
допустим, что мы имеем дело с установившимся процессом аннигиляции, тогда, полагая, что плотность смеси обоих газов ρ, получим, что σ = ρ. При этом средняя температура определится из соотношения:
(7)
Например, при плотности ρ = 10-12г/см3, Т = 6·105 градусов. Интегрируя выражение (6) при условии, что при t = 0 и u = u0, х = 0, найдем, что
(8)
Пусть расстояние места аннигиляции от места хранения есть х0. Тогда, полагая, что при х = х0 u = 0, найдем начальную скорость, достаточную для того, чтобы выбрасываемый газ достиг места аннигиляции:
откуда
и
(9)
Допустим, что = 10-3(u0 = 300 км/сек); х0 = 100 м = 104 см, тогда максимальная плотность (k = 2), необходимая для сближения, будет ρ = 10-10 г/см3. При большей плотности световое давление «разгонит» сближающиеся газы.

В случае твердых частиц сила светового давления, действующая на частицу, будет равна:

(10)
где α — коэффициент отражения (α = 1), s — площадь частицы. Поэтому уравнение движения частицы запишется в виде
(11)
где m — масса частицы.
Отсюда
(12)
где Δ — плотность частицы, а i — ее средний размер (m = sl ¯Δ¯).

При аннигиляции, например, протона и антипротона образуются не только γ-кванты (электромагнитное излучение), но и различные частицы и, в частности, π±-мезоны, которые за время 2,5·10-8сек. распадаются на μ±-мезоны и нейтрино, а те в свою очередь через 2·10-6 сек. распадаются на β±-излучение (позитроны и электроны) и 2 нейтрино. При этом средний путь этих мезонов составляет сотни метров — километры. В других случаях образуются другие заряженные и нейтральные частицы.

Эти частицы проходят путь в сотни метров и километров, прежде чем полностью или частично превращаются в электромагнитное излучение. Траекторию этих частиц можно отключить (отразить) в сильном электромагнитном поле, которое будет играть роль «зеркала», и, таким образом, на «оптическое» зеркало попадает не очень значительная часть полной энергии и нейтральные частицы, процент которых от общего числа частиц невелик. В случае магнитного поля можно сделать следующую оценку.

Поскольку давление магнитного поля

(13)
а давление потока радиации , где σч — плотность частиц потока радиации, состоящей из заряженных частиц, то для «отражения» этого потока от поля необходимо, чтобы выполнялось неравенство рм>рч, т. е. чтобы выполнялось условие:
(14)
Например, при σч = 10-10 г/см3 (полагая, что μ = 1) найдем, что = 3 · 1010 дин/см2, откуда H≌9·105 эрстед. При малых плотностях среды, рассматривая ее как дискретную, можно использовать электромагнитное поле, чтобы затормозить частицы на вероятных длинах (104— 106 см].

Закон движения заряженной частицы под влиянием электромагнитного поля описывается уравнением:

(15)

Например, в случае только электрического поля и прямолинейной траектории имеем:

(16)
где — отношение массы заряженной частицы (например, мезона) к массе протона mp = 1,67·10-24 г; е — заряд частицы (равный заряду электрона е = 4,8·10-10 г½·см3/2/сек). Интегрируя выражение (16), найдем, что
(17)
откуда при u = 0 (полное торможение)
(18)
где — энергия частицы. Для процесса аннигиляции характерна энергия частиц порядка 10-3 эрг = 6·108 эв = 600 мэв. Полагая u0 = с, придем к соотношению, определяющему Е:
(19)
Поскольку t = 10-6 сек., то Е = 60 дин½см= 1,8·106в/м. При этом пройденный путь будет порядка нескольких сот метров (нескольких километров).

Комбинированное действие электрического и магнитного поля сделает результат «отражения» еще более надежным и при меньших расстояниях, проходимых частицами. Создание сильных электромагнитных полей в больших объемах будет, несомненно, возможно при постройке фотонных ракет. Сравнительно небольшая часть энергии «двигателей» вполне может быть использована для этой цели.

дальше!